求导公式表除法一文掌握除法求导法则及常见公式

一、 理解除法求导法则（Quotient Rule）

除法求导法则，又称商法则，是微分学中一个基础且重要的规则。它允许我们计算两个可导函数之商的导数。该法则的推导基于导数的定义以及乘法求导法则和链式法则。

1. 除法求导法则的定义

假设我们有两个函数 $u(x)$ 和 $v(x)$，并且它们在某个区间内都可导，同时 $v(x) eq 0$。那么，它们的商 $f(x) = frac{u(x)}{v(x)}$ 在该区间内也是可导的，并且其导数由以下公式给出：

$$ f(x) = frac{d}{dx}left(frac{u(x)}{v(x)} ight) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} $$

其中，$u(x)$ 表示函数 $u(x)$ 的导数，而 $v(x)$ 表示函数 $v(x)$ 的导数。

2. 法则的记忆技巧

为了方便记忆，可以将该法则概括为：“下导上，减上导下，除以下平方”。

• “下导上”：指分母 $v(x)$ 不变，分子 $u(x)$ 求导，得到 $u(x)v(x)$。
• “上导下”：指分子 $u(x)$ 不变，分母 $v(x)$ 求导，得到 $u(x)v(x)$。
• “减”：在上述两项之间用减号连接。
• “除以下平方”：将整个结果除以分母 $v(x)$ 的平方，即 $[v(x)]^2$。

二、 除法求导法则的应用步骤

在实际应用除法求导公式时，可以遵循以下步骤，确保计算的准确性和效率：

1. 识别分子和分母：首先，明确待求导函数中的分子 $u(x)$ 和分母 $v(x)$ 是什么。
2. 分别求导：计算分子 $u(x)$ 的导数 $u(x)$ 和分母 $v(x)$ 的导数 $v(x)$。这里可能需要用到其他基本的求导公式（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数）以及加减法、乘法求导法则。
3. 代入公式：将 $u(x)$、$v(x)$、$u(x)$ 和 $v(x)$ 代入除法求导公式：$y = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2}$。
4. 化简结果：对代入公式后得到的结果进行代数化简，整理成最简形式。

三、 常见函数的除法求导公式实例

理解了除法求导法则的原理和应用步骤后，我们通过一些常见的函数组合来具体演示其应用。

1. 分数指数幂函数的商

问题：求函数 $f(x) = frac{x^{1/2}}{x^3}$ 的导数。

分析：

• 令 $u(x) = x^{1/2}$，则 $u(x) = frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = frac{1}{2}x^{-1/2}$。
• 令 $v(x) = x^3$，则 $v(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$。

应用除法求导公式：

$$ f(x) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} = frac{(frac{1}{2}x^{-1/2})(x^3) - (x^{1/2})(3x^2)}{(x^3)^2} $$

化简：

$$ f(x) = frac{frac{1}{2}x^{-1/2 + 3} - 3x^{1/2 + 2}}{x^6} = frac{frac{1}{2}x^{5/2} - 3x^{5/2}}{x^6} $$

$$ f(x) = frac{(frac{1}{2} - 3)x^{5/2}}{x^6} = frac{-frac{5}{2}x^{5/2}}{x^6} = -frac{5}{2}x^{5/2 - 6} = -frac{5}{2}x^{-7/2} $$

也可写为：$f(x) = -frac{5}{2sqrt{x^7}}$ 或 $f(x) = -frac{5}{2x^3sqrt{x}}$。

2. 有理函数的商

问题：求函数 $g(x) = frac{2x+1}{x-3}$ 的导数。

分析：

• 令 $u(x) = 2x+1$，则 $u(x) = 2$。
• 令 $v(x) = x-3$，则 $v(x) = 1$。

应用除法求导公式：

$$ g(x) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} = frac{(2)(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} $$

化简：

$$ g(x) = frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = frac{-7}{(x-3)^2} $$

3. 包含三角函数的商

问题：求函数 $h(x) = frac{sin(x)}{cos(x)}$ 的导数。

分析：

• 令 $u(x) = sin(x)$，则 $u(x) = cos(x)$。
• 令 $v(x) = cos(x)$，则 $v(x) = -sin(x)$。

应用除法求导公式：

$$ h(x) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} = frac{(cos(x))(cos(x)) - (sin(x))(-sin(x))}{(cos(x))^2} $$

化简：

$$ h(x) = frac{cos^2(x) + sin^2(x)}{cos^2(x)} $$

根据三角恒等式 $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$，我们得到：

$$ h(x) = frac{1}{cos^2(x)} = sec^2(x) $$

注：我们知道 $frac{sin(x)}{cos(x)} = an(x)$，而 $ an(x)$ 的导数正是 $sec^2(x)$。这个例子也验证了除法求导法则的正确性。

4. 包含指数函数的商

问题：求函数 $k(x) = frac{e^x}{x^2+1}$ 的导数。

分析：

• 令 $u(x) = e^x$，则 $u(x) = e^x$。
• 令 $v(x) = x^2+1$，则 $v(x) = 2x$。

应用除法求导公式：

$$ k(x) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} = frac{(e^x)(x^2+1) - (e^x)(2x)}{(x^2+1)^2} $$

化简：

$$ k(x) = frac{e^x(x^2+1 - 2x)}{(x^2+1)^2} = frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2} $$

四、 常见函数的导数汇总（便于应用除法求导）

在进行除法求导时，常常需要用到以下基本函数的导数。熟练掌握这些基本公式能大大提高解题效率。

1. 基本幂函数

• $frac{d}{dx}(c) = 0$ (常数)
• $frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ (其中 $n$ 为任意实数)

2. 基本指数函数

• $frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $frac{d}{dx}(a^x) = a^x ln(a)$ (其中 $a > 0$ 且 $a eq 1$)

3. 基本对数函数

• $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$ (当 $x > 0$)
• $frac{d}{dx}(log_a x) = frac{1}{x ln a}$ (其中 $a > 0$ 且 $a eq 1$, $x > 0$)

4. 基本三角函数

• $frac{d}{dx}(sin x) = cos x$
• $frac{d}{dx}(cos x) = -sin x$
• $frac{d}{dx}( an x) = sec^2 x$
• $frac{d}{dx}(cot x) = -csc^2 x$
• $frac{d}{dx}(sec x) = sec x an x$
• $frac{d}{dx}(csc x) = -csc x cot x$

5. 基本反三角函数

• $frac{d}{dx}(arcsin x) = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$ (当 $|x| < 1$)
• $frac{d}{dx}(arccos x) = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}$ (当 $|x| < 1$)
• $frac{d}{dx}(arctan x) = frac{1}{1+x^2}$
• $frac{d}{dx}(operatorname{arccot} x) = -frac{1}{1+x^2}$

五、 复合函数与除法求导的结合

在实际问题中，我们遇到的函数往往不是简单的 $u(x)/v(x)$ 形式，而是可能包含复合函数。这时，我们需要将除法求导法则与链式法则（Chain Rule）结合使用。

1. 链式法则简介

链式法则用于计算复合函数的导数。如果函数 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$，则 $y$ 关于 $x$ 的导数为：

$$ frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} $$

或者，用函数表示为：$(f(g(x))) = f(g(x)) cdot g(x)$。

2. 实例：复合函数与除法的结合

问题：求函数 $m(x) = frac{sin(x^2)}{cos(x^3)}$ 的导数。

分析：这是一个商的形式，分子和分母都包含复合函数。

• 分子 $u(x) = sin(x^2)$：
  • 令内部函数为 $g(x) = x^2$，则 $g(x) = 2x$。
  • 令外部函数为 $f(u) = sin(u)$，则 $f(u) = cos(u)$。
  • 根据链式法则，$u(x) = f(g(x)) cdot g(x) = cos(x^2) cdot 2x = 2x cos(x^2)$。
• 分母 $v(x) = cos(x^3)$：
  • 令内部函数为 $h(x) = x^3$，则 $h(x) = 3x^2$。
  • 令外部函数为 $k(u) = cos(u)$，则 $k(u) = -sin(u)$。
  • 根据链式法则，$v(x) = k(h(x)) cdot h(x) = -sin(x^3) cdot 3x^2 = -3x^2 sin(x^3)$。

应用除法求导公式：

$$ m(x) = frac{u(x)v(x) - u(x)v(x)}{[v(x)]^2} $$

$$ m(x) = frac{(2x cos(x^2))(cos(x^3)) - (sin(x^2))(-3x^2 sin(x^3))}{(cos(x^3))^2} $$

化简：

$$ m(x) = frac{2x cos(x^2)cos(x^3) + 3x^2 sin(x^2)sin(x^3)}{cos^2(x^3)} $$

六、 避免常见错误

在使用除法求导公式时，有几个常见的错误需要特别注意：

• 公式记混：将分子和分母的导数位置弄反，或者在分子中使用加号代替减号。请务必牢记“下导上，减上导下”。
• 分母平方错误：忘记对分母进行平方，或者平方时出现错误。
• 忽略复合函数：在求分子或分母的导数时，如果其本身是复合函数，而忘记使用链式法则。
• 化简不完全：计算结果不进行必要的代数化简，导致最终答案不够简洁。
• 定义域问题：在实际应用中，要关注函数的定义域，特别是分母不能为零的情况。

七、 结论

除法求导公式是微积分中不可或缺的一部分。通过对“求导公式表除法”的深入探讨，我们不仅理解了商法则的原理，还掌握了其应用步骤，并通过大量实例展示了其在不同类型函数求导中的作用。同时，结合基本函数导数表和链式法则，可以应对更为复杂的导数计算问题。

熟练掌握除法求导公式，并注意避免常见错误，将极大地提升您在微积分学习和实际应用中的能力。在面对任何两个函数相除的情况时，请回忆并应用本文所介绍的除法求导法则，相信您能准确高效地得出导数结果。