matlab的求和：向量、矩阵、多项式及其他常见场景的详细指南

MATLAB 的求和：核心概念与实用技巧

在 MATLAB 中，求和是一个非常基础且频繁使用的操作。它可以应用于向量、矩阵，甚至更复杂的数据结构，是数据分析、数值计算和科学研究不可或缺的工具。掌握 MATLAB 的求和方法，能够极大地提高编程效率和数据处理能力。

MATLAB 提供了多种内置函数和语法来实现求和，最常用的包括 `sum` 函数。根据操作对象的不同，`sum` 函数的行为也会有所差异。理解这些差异对于正确使用 `sum` 至关重要。

一、 MATLAB 中向量的求和

对向量进行求和是最常见的场景。当 `sum` 函数作用于一个向量时，它会返回向量中所有元素的总和。

语法：

sum_result = sum(vector_name)

示例：

假设我们有一个向量 `v`：

v = [1, 2, 3, 4, 5]
sum_v = sum(v)
disp(sum_v) % 输出: 15

在这个例子中，`sum(v)` 直接计算了向量 `v` 中所有元素的和，即 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。

二、 MATLAB 中矩阵的求和

对于矩阵，`sum` 函数的行为更加灵活，可以通过指定维度来控制求和的方向。

2.1. 按列求和 (默认行为)

如果不指定任何参数，`sum` 函数会沿着矩阵的第一个维度（即按列）进行求和。这意味着它会计算每一列元素的总和，并返回一个行向量，其中每个元素代表对应列的总和。

语法：

column_sums = sum(matrix_name)

或者显式指定维度 1：

column_sums = sum(matrix_name, 1)

示例：

考虑一个矩阵 `M`：

M = [1, 2, 3
     4, 5, 6
     7, 8, 9]
column_sums = sum(M)
disp(column_sums) % 输出: [12, 15, 18]

在这个例子中：

• 第一列的和是 1 + 4 + 7 = 12。
• 第二列的和是 2 + 5 + 8 = 15。
• 第三列的和是 3 + 6 + 9 = 18。

2.2. 按行求和

要按行对矩阵进行求和，需要将维度参数设置为 2。

语法：

row_sums = sum(matrix_name, 2)

示例：

使用上面的矩阵 `M`：

M = [1, 2, 3
     4, 5, 6
     7, 8, 9]
row_sums = sum(M, 2)
disp(row_sums) % 输出: [6 15 24]

在这个例子中：

• 第一行的和是 1 + 2 + 3 = 6。
• 第二行的和是 4 + 5 + 6 = 15。
• 第三行的和是 7 + 8 + 9 = 24。

注意，按行求和的结果是一个列向量。

2.3. 矩阵元素的总和

要计算矩阵所有元素的总和，可以先按列求和得到一个行向量，然后再对这个行向量求和；或者直接使用两次 `sum` 函数。

语法：

total_sum = sum(sum(matrix_name))

示例：

M = [1, 2, 3
     4, 5, 6
     7, 8, 9]
total_sum = sum(sum(M))
disp(total_sum) % 输出: 45

这相当于 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45。

三、 MATLAB 中多维数组的求和

MATLAB 支持多维数组（例如 3D 数组）。`sum` 函数同样可以处理这些数组，并允许指定求和的维度。

语法：

sum_result = sum(array_name, dimension)

其中 `dimension` 指定了要沿着哪个维度进行求和。

示例：

创建一个 3D 数组 `A`（2x3x2）：

A = rand(2, 3, 2) % 创建一个 2 行 3 列 2 页的随机数组

% 对第一个维度（行）求和
sum_dim1 = sum(A, 1) % 结果是 1x3x2
disp(按第一个维度求和 (行):)
disp(sum_dim1)

% 对第二个维度（列）求和
sum_dim2 = sum(A, 2) % 结果是 2x1x2
disp(按第二个维度求和 (列):)
disp(sum_dim2)

% 对第三个维度（页）求和
sum_dim3 = sum(A, 3) % 结果是 2x3x1
disp(按第三个维度求和 (页):)
disp(sum_dim3)

% 计算所有元素的总和
total_sum_A = sum(A(:)) % 使用 A(:) 将多维数组展平成向量
disp(所有元素的总和:)
disp(total_sum_A)

在处理多维数组时，理解维度索引非常重要。维度 1 通常对应于行，维度 2 对应于列，维度 3 对应于“页”或深度，以此类推。

四、 MATLAB 中条件求和

在实际应用中，我们常常需要对满足特定条件的元素进行求和。MATLAB 提供了几种方法来实现这一点。

4.1. 使用逻辑索引

逻辑索引是一种非常强大的技术，可以根据条件选择元素。我们可以创建一个逻辑向量，然后用它来索引原向量或矩阵，最后对选中的元素求和。

语法：

sum_result = sum(vector_name(condition))

示例：

对向量 `v` 中大于 3 的元素求和：

v = [1, 5, 2, 8, 3, 6]
condition = v > 3 % 创建逻辑向量: [false, true, false, true, false, true]
sum_greater_than_3 = sum(v(condition))
disp(sum_greater_than_3) % 输出: 19 (5 + 8 + 6)

对于矩阵，也可以进行类似的条件求和。

示例 (矩阵)：

M = [1, 2, 3
     4, 5, 6
     7, 8, 9]
condition_M = M < 5 % 创建逻辑矩阵
% sum(M(condition_M)) 将会计算所有小于 5 的元素之和
sum_less_than_5 = sum(M(condition_M))
disp(sum_less_than_5) % 输出: 10 (1 + 2 + 3 + 4)

4.2. 使用 `sum` 和逻辑条件的组合

可以直接将逻辑条件与 `sum` 函数结合使用。MATLAB 会将逻辑值 `true` 视为 1，`false` 视为 0。

语法：

sum_result = sum(vector_name .* (vector_name condition))

或者更简洁的：

sum_result = sum(vector_name(condition)) (此种方式更常用且直接)

示例：

求向量 `v` 中偶数的和：

v = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
is_even = mod(v, 2) == 0 % is_even: [false, true, false, true, false, true]
sum_of_evens = sum(v(is_even))
disp(sum_of_evens) % 输出: 12 (2 + 4 + 6)

这种方法对于按列或按行进行条件求和也同样适用，只是需要更小心地处理维度。

五、 MATLAB 中的累加和 (Cumulative Sum)

除了直接的总和，有时我们需要计算元素的累加和，即从第一个元素开始，依次将后面的元素加到前面的总和中，形成一个序列。

MATLAB 提供了 `cumsum` 函数来实现这一功能。

语法：

cumulative_sums = cumsum(vector_or_matrix)

示例 (向量)：

对向量 `v` 计算累加和：

v = [1, 2, 3, 4, 5]
cumulative_v = cumsum(v)
disp(cumulative_v) % 输出: [1, 3, 6, 10, 15]

• 第一个元素：1
• 第二个元素：1 + 2 = 3
• 第三个元素：1 + 2 + 3 = 6
• 第四个元素：1 + 2 + 3 + 4 = 10
• 第五个元素：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

示例 (矩阵)：

对于矩阵，`cumsum` 的行为也类似于 `sum`，可以指定维度。

M = [1, 2, 3
     4, 5, 6]

% 按列计算累加和 (默认)
cumulative_M_col = cumsum(M)
disp(按列累加和:)
disp(cumulative_M_col)
% 输出:
% [1, 2, 3
%  5, 7, 9]

% 按行计算累加和
cumulative_M_row = cumsum(M, 2)
disp(按行累加和:)
disp(cumulative_M_row)
% 输出:
% [1,  3,  6
%  4,  9, 15]

六、 MATLAB 中对结构体数组的求和

当数据存储在结构体数组中时，直接使用 `sum` 函数可能无法达到预期。通常需要先提取出需要求和的字段，然后对其进行求和。

示例：

假设有一个结构体数组 `S`，每个结构体包含一个 `value` 字段：

S(1).value = 10
S(2).value = 20
S(3).value = 30

% 提取所有 value 字段到一个向量
values = [S.value]

% 对这个向量求和
total_value = sum(values)
disp(total_value) % 输出: 60

对于更复杂的结构体，可以使用循环或函数句柄与 `arrayfun` 等结合来提取和求和。

七、 MATLAB 中对单元数组的求和

单元数组 `cell array` 可以存储不同类型的数据，这使得直接求和变得复杂。如果单元数组中存储的是数值，通常需要将其转换为数值数组后再进行求和。

示例：

一个包含数值的单元数组 `C`：

C = {1, 2, [3, 4], 5}

% 方法 1: 使用 cell2mat 转换为数值矩阵 (如果元素类型兼容)
% 注意：如果单元数组包含不同大小的矩阵，cell2mat 可能不适用
try
    numeric_C = cell2mat(C)
    sum_C = sum(numeric_C)
    disp(sum_C) % 输出: 15 (1+2+3+4+5)
catch
    disp(cell2mat 转换失败，尝试其他方法...)
end

% 方法 2: 使用 arrayfun 配合 sum (更通用)
sum_C_arrayfun = sum(cellfun(@sum, C))
disp(sum_C_arrayfun) % 输出: 15

% 如果单元数组中包含非数值元素，需要先进行过滤
C_mixed = {1, hello, 3, [4, 5]}
numeric_elements = cellfun(@isnumeric, C_mixed)
sum_numeric_mixed = sum(cell2mat(C_mixed(numeric_elements)))
disp(sum_numeric_mixed) % 输出: 13 (1+3+4+5)

八、 性能考虑与优化

MATLAB 的内置函数（如 `sum`）通常是高度优化的，并且是用 C 或 Fortran 编写的。因此，尽量使用内置函数来执行求和操作，而不是编写自定义的循环，这通常能获得更好的性能。

避免：

% 低效示例 (不推荐)
my_sum = 0
for i = 1:length(v)
    my_sum = my_sum + v(i)
end

推荐：

my_sum = sum(v)

对于非常大的数据集，如果内存成为瓶颈，可能需要考虑分块处理数据，但这通常是更高级的优化技巧。

在进行条件求和时，使用逻辑索引通常比在循环中进行判断和累加更高效。

总结

MATLAB 的求和功能强大而灵活，`sum` 函数是核心工具。无论是简单的向量求和，还是复杂的矩阵、多维数组的按维求和，亦或是基于条件的求和，MATLAB 都能提供高效的解决方案。熟练掌握这些技巧，将极大地提升您在 MATLAB 中进行数据分析和数值计算的能力。当处理结构体和单元数组时，需要结合提取字段或转换数据类型的方法来实现求和。