三位数乘两位数不进位的计算题：掌握核心计算技巧与解题思路

掌握三位数乘两位数不进位的计算技巧

三位数乘两位数不进位是一种基础的乘法运算，其核心在于将三位数的个位、十位、百位分别与两位数的个位和十位进行独立相乘，然后将得到的中间积相加。 关键在于计算过程中，每一位的乘积都不会产生进位到更高位数。例如，在计算 123 × 45 时，如果 3 × 5 的积小于 10，2 × 5 的积小于 10，1 × 5 的积小于 10，并且 3 × 4 的积小于 10，2 × 4 的积小于 10，1 × 4 的积小于 10，那么这就是一个典型的三位数乘两位数不进位的计算题。这样的计算题通常用于初步掌握乘法运算的原理和竖式计算的布局，是小学低年级数学教学的重要组成部分。

不进位的计算简化了运算过程，使得学生能够更专注于理解乘法的分配律和竖式计算的逻辑。在实际应用中，虽然更复杂的进位运算更为常见，但对不进位乘法的熟练掌握是解决更高级问题的基石。以下将深入探讨三位数乘两位数不进位的计算题的解题方法、常见误区及相关练习。

理解三位数乘两位数不进位的计算原理

所谓“不进位”，指的是在进行乘法运算的每一步中，个位、十位、百位上的乘积都小于 10，无需向相邻的更高位数“进一”。这使得我们可以将乘法分解为一系列更简单的乘法和加法。以一个不进位的例子来说明：

示例： 计算 101 × 23

在这个例子中：

• 1 × 3 = 3 (个位上的乘积，小于 10)
• 0 × 3 = 0 (十位上的乘积，小于 10)
• 1 × 3 = 3 (百位上的乘积，小于 10)
• 1 × 2 = 2 (个位上的乘积，小于 10)
• 0 × 2 = 0 (十位上的乘积，小于 10)
• 1 × 2 = 2 (百位上的乘积，小于 10)

通过分解，我们可以看到每一步的乘积都符合不进位的要求。

竖式计算在不进位乘法中的应用

竖式计算是解决三位数乘两位数不进位计算题最直观和系统的方法。其步骤如下：

1. 对齐位数： 将三位数写在上方，两位数写在下方，个位对齐个位，十位对齐十位。
2. 用乘数的个位去乘被乘数： 将两位数的个位数分别与三位数的个位、十位、百位相乘。将得到的乘积写在被乘数下方，注意位数对齐。
3. 用乘数的十位去乘被乘数： 将两位数的十位数分别与三位数的个位、十位、百位相乘。在写这个部分的乘积时，要比用个位乘得到的乘积向左错开一位（即十位对齐被乘数的十位，百位对齐被乘数的百位，千位对齐被乘数的千位）。
4. 将两个乘积相加： 将步骤 2 和步骤 3 得到的两个中间积相加，得到最终的乘积。

重要提示： 在不进位的计算中，步骤 4 的相加也同样不会产生进位。这意味着在每一列相加时，其和都小于 10。

不进位乘法的核心要素

要确保一个三位数乘两位数的计算是“不进位”的，需要满足以下条件：

• 被乘数的每一位与乘数的个位相乘的积： 必须小于 10。
• 被乘数的每一位与乘数的十位相乘的积： 必须小于 10。
• 两个中间积相加时： 每一位上的和必须小于 10。

例如，我们来分析一个符合条件的例子：

计算： 112 × 11

竖式计算过程：

112 × 11 ----- 112 (112 × 1) 112 (112 × 1，向左错开一位) ----- 1232 (相加)

在这个例子中：

• 用乘数的个位 (1) 乘被乘数 (112)： 2 × 1 = 2；1 × 1 = 1；1 × 1 = 1。所有乘积均小于 10，且写下的“112”也没有进位。
• 用乘数的十位 (1) 乘被乘数 (112)： 2 × 1 = 2；1 × 1 = 1；1 × 1 = 1。所有乘积均小于 10，且写下的“112”也未产生进位。将这个“112”在竖式中向左移一位。
• 相加：
  • 个位：2 + (空位) = 2 (小于 10)
  • 十位：1 + 2 = 3 (小于 10)
  • 百位：1 + 1 = 2 (小于 10)
  • 千位：(空位) + 1 = 1 (小于 10)
  所有相加的结果均小于 10，因此这是典型的三位数乘两位数不进位的计算题。

识别三位数乘两位数不进位的计算题

识别不进位的计算题，关键在于观察被乘数和乘数的数字。通常，为了避免进位，被乘数的各位数字会比较小，而乘数（尤其是两位数）的各位数字也必须是小的数字（如 1、2 等）。

判别规则：

在进行竖式计算前，可以快速进行一个初步的判断：

1. 查看被乘数的个位与乘数个位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
2. 查看被乘数的十位与乘数个位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
3. 查看被乘数的百位与乘数个位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
4. 查看被乘数的个位与乘数十位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
5. 查看被乘数的十位与乘数十位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
6. 查看被乘数的百位与乘数十位的乘积： 如果此积大于或等于 10，则很可能需要进位。
7. 考虑中间积相加： 即使每一步的乘积都小于 10，但两个中间积相加时，如果在某一数位上的和大于或等于 10，也需要进位。

一个简化的判断： 如果被乘数的三位数字分别为 a, b, c，乘数的两位数字分别为 d, e (其中 d 是十位，e 是个位)，那么不进位需要满足：

• a × e < 10
• b × e < 10
• c × e < 10
• a × d < 10
• b × d < 10
• c × d < 10
• (b × e) + (c × d) < 10 (这是中间积相加时十位的和，可能会进位)
• (a × e) + (b × d) < 10 (这是中间积相加时百位的和，可能会进位)
• (a × d) < 10 (这是中间积相加时千位的和，可能会进位)

需要强调的是，最后一个环节的相加过程是否进位，才是最终决定是否为“不进位”计算的关键。 即使前面所有的乘积都小于 10，但相加时出现进位，就不是不进位的计算题。

示例：

例子 1 (不进位)： 102 × 11

• 2 × 1 = 2 (< 10)
• 0 × 1 = 0 (< 10)
• 1 × 1 = 1 (< 10)
• 2 × 1 = 2 (< 10)
• 0 × 1 = 0 (< 10)
• 1 × 1 = 1 (< 10)
• 相加：
• 个位：2 + 0 = 2 (< 10)
• 十位：0 + 2 = 2 (< 10)
• 百位：1 + 0 = 1 (< 10)
• 千位：1 (< 10)
这是一个不进位的计算题。

例子 2 (进位)： 123 × 21

• 3 × 1 = 3 (< 10)
• 2 × 1 = 2 (< 10)
• 1 × 1 = 1 (< 10)
• 3 × 2 = 6 (< 10)
• 2 × 2 = 4 (< 10)
• 1 × 2 = 2 (< 10)
• 相加：
• 个位：3 + 0 = 3 (< 10)
• 十位：2 + 6 = 8 (< 10)
• 百位：1 + 4 = 5 (< 10)
• 千位：2 (< 10)
看起来好像不进位，但我们再仔细检查一下： 123 × 21 ----- 123 (123 × 1) 246 (123 × 2，向左错开一位) ----- 2583 (相加) 在这个例子中，当我们将 123 × 2 (等于 246) 的结果写在下方时，2 × 2 = 4，1 × 2 = 2。但是，当我们将两个中间积相加时： * 十位：2 (来自 123 × 1 的十位) + 6 (来自 123 × 2 的个位) = 8 (< 10) * 百位：1 (来自 123 × 1 的百位) + 4 (来自 123 × 2 的十位) = 5 (< 10) * 千位：2 (来自 123 × 2 的百位) = 2 (< 10) 让我们换一个例子来明确进位： 计算： 345 × 21 345 × 21 ----- 345 (345 × 1) 690 (345 × 2，向左错开一位) ----- 7245 (相加) 在这个例子中： * 3 × 1 = 3 (< 10) * 4 × 1 = 4 (< 10) * 5 × 1 = 5 (< 10) * 3 × 2 = 6 (< 10) * 4 × 2 = 8 (< 10) * 5 × 2 = 10 (这里的 5 × 2 结果是 10，所以已经有进位了，尽管我们通常在竖式计算中会先写 0，然后进位到十位。) 为了更清晰地说明“不进位”的定义，我们重点关注“计算过程中，每一位的乘积都不会产生进位到更高位数，并且最终相加也无进位”。 重新审视 123 × 21： * 123 × 1 = 123 (无进位) * 123 × 20 = 2460 (这里 123 × 2 = 246，写作 2460 是因为乘以的是 20。这里的 123 × 2 = 246 这个过程本身，2 × 2 = 4，1 × 2 = 2，3 × 2 = 6，这三个乘积都是小于 10 的，所以 123 × 2 这个子过程没有进位。) * 相加：123 + 2460 = 2583。 * 竖式相加： 123 +2460 ----- 2583 * 个位：3 + 0 = 3 (< 10) * 十位：2 + 6 = 8 (< 10) * 百位：1 + 4 = 5 (< 10) * 千位：2 (< 10) 在这种情况下，123 × 21 确实是**不进位**的计算。我的上一个分析误入了歧途。 不进位计算的真正含义是： 1. 乘数个位与被乘数各位相乘，积都小于 10。 2. 乘数十位与被乘数各位相乘，积都小于 10。 3. 两个中间积相加时，每一位上的和都小于 10。 再次验证 123 × 21： 1. 123 × 1：2×1=2, 1×1=1, 3×1=3。均小于 10。 2. 123 × 2（的十位）：2×2=4, 1×2=2, 3×2=6。均小于 10。 3. 相加： 123 +246_ (这里是 123 × 20，所以 246 要向左移一位，写作 2460) ----- 2583 * 个位：3 + 0 = 3 (< 10) * 十位：2 + 6 = 8 (< 10) * 百位：1 + 4 = 5 (< 10) * 千位：2 (< 10) 所以，123 × 21 确实是一个不进位的计算题。 让我们找一个有进位的例子： 计算： 345 × 23 345 × 23 ----- 1035 (345 × 3) -- 这里 5 × 3 = 15，产生了进位。 690 (345 × 2，向左错开一位) -- 这里 5 × 2 = 10，产生了进位。 ----- 7935 (相加) 在这个例子中，"345 × 3" 的计算过程中，5 × 3 = 15，15大于10，所以这是一个进位的乘法。 总结： 识别三位数乘两位数不进位的计算题，关键在于观察竖式计算的每一步，包括乘积的书写和最后的相加，是否有“进一”的操作。

练习与应用

为了熟练掌握三位数乘两位数不进位的计算，大量的练习是必不可少的。以下提供一些典型的练习题，并附带解题思路，帮助理解。

典型不进位计算题

1. 计算： 111 × 11
• 111 × 1 = 111
• 111 × 1 (十位) = 111，向左移一位
• 相加：111 + 1110 = 1221。
• 检查：1×1=1, 1×1=1, 1×1=1 (个位乘法无进位)；1×1=1, 1×1=1, 1×1=1 (十位乘法无进位)；相加：1+0=1, 1+1=2, 1+1=2, 1=1。均无进位。
2. 计算： 102 × 20
• 102 × 0 = 0
• 102 × 2 (十位) = 204，向左移一位
• 相加：0 + 2040 = 2040。
• 检查：2×0=0, 0×0=0, 1×0=0；2×2=4, 0×2=0, 1×2=2 (这部分无进位)；相加：0+0=0, 0+4=4, 0+0=0, 2=2。均无进位。
3. 计算： 213 × 12
• 213 × 2 = 426
• 213 × 1 (十位) = 213，向左移一位
• 相加：426 + 2130 = 2556。
• 检查：3×2=6, 1×2=2, 2×2=4 (无进位)；3×1=3, 1×1=1, 2×1=2 (无进位)；相加：6+0=6, 2+3=5, 4+1=5, 2=2。均无进位。
4. 计算： 123 × 10
• 123 × 0 = 0
• 123 × 1 (十位) = 123，向左移一位
• 相加：0 + 1230 = 1230。
• 检查：3×0=0, 2×0=0, 1×0=0；3×1=3, 2×1=2, 1×1=1 (无进位)；相加：0+0=0, 0+3=3, 0+2=2, 1=1。均无进位。
5. 计算： 100 × 32
• 100 × 2 = 200
• 100 × 3 (十位) = 300，向左移一位
• 相加：200 + 3000 = 3200。
• 检查：0×2=0, 0×2=0, 1×2=2 (无进位)；0×3=0, 0×3=0, 1×3=3 (无进位)；相加：0+0=0, 0+0=0, 2+0=2, 3=3。均无进位。

辨别进位与不进位的练习

以下题目，请判断是否为三位数乘两位数不进位的计算题。

1. 301 × 21 (是)
2. 142 × 12 (否，4×2=8，1×2=2，2×2=4，3×1=3，4×1=4，2×1=2。相加：2+3=5, 4+4=8, 1+2=3. 142×12 结果是 1704。142×2=284，142×10=1420，284+1420=1704。这里 4×2=8，1×2=2，2×2=4。 2×1=2，4×1=4，1×1=1。相加：4+0=4，8+2=10，进位！ 所以否。)
3. 222 × 11 (是)
4. 105 × 20 (是)
5. 311 × 30 (是)
6. 123 × 45 (否，3×5=15，进位)
7. 201 × 32 (是)
8. 400 × 21 (是)
9. 132 × 12 (否，2×2=4，3×2=6，1×2=2。 2×1=2，3×1=3，1×1=1。相加：4+0=4，6+2=8，2+3=5，1=1。 132×12=1584。132×2=264，132×10=1320。264+1320=1584。 检查：3×2=6，1×2=2，2×2=4。 3×1=3，1×1=1，2×1=2。相加：4+0=4，6+2=8，2+3=5，1=1。 看起来是“不进位”。 让我们重新审视规则：1. 乘积小于 10，2. 相加结果小于 10。132 × 12： 3×2=6(<10), 1×2=2(<10), 2×2=4(<10)。 3×1=3(<10), 1×1=1(<10), 2×1=2(<10)。 相加： 个位：2+0=2(<10)。 十位：6+3=9(<10)。 百位：2+1=3(<10)。 千位：1(<10)。 所以 132 × 12 也是不进位的计算。)
10. 110 × 54 (否，0×4=0，1×4=4，1×4=4。 0×5=0，1×5=5，1×5=5。相加：0+0=0，4+0=4，4+5=9，5=5。 110×4=440，110×50=5500，440+5500=5940。 检查：0×4=0, 1×4=4, 1×4=4. 0×5=0, 1×5=5, 1×5=5. 相加： 0+0=0, 4+0=4, 4+5=9, 5=5. 看起来也是不进位的。 )

重新定义“不进位”和“进位”：

在小学数学教学中，“不进位”通常指的是在进行竖式乘法时，每一次乘法运算的结果（例如，被乘数的个位乘以乘数的个位）本身都不会大于 9，并且最终将两个中间积相加时，每一位上的和也不会大于 9。

让我们再次审视 142 × 12。

142 × 12 ----- 284 (142 × 2) 142 (142 × 1，向左错开一位) ----- 1704

分析 142 × 2：

• 2 × 2 = 4 (小于 10)
• 4 × 2 = 8 (小于 10)
• 1 × 2 = 2 (小于 10)
• 这部分是“不进位”的。

分析 142 × 1（十位）：

• 2 × 1 = 2 (小于 10)
• 4 × 1 = 4 (小于 10)
• 1 × 1 = 1 (小于 10)
• 这部分也是“不进位”的。

分析相加：

• 个位：4 + (空位，可以看作 0) = 4 (小于 10)
• 十位：8 + 2 = 10。这里出现了进位！ 8 + 2 = 10，需要向百位进 1。
• 百位：2 + 4 + 1 (进位) = 7 (小于 10)
• 千位：1 (小于 10)

因此，142 × 12 是一个**进位**的计算题。

再审视 132 × 12：

132 × 12 ----- 264 (132 × 2) 132 (132 × 1，向左错开一位) ----- 1584

分析 132 × 2：

• 2 × 2 = 4 (< 10)
• 3 × 2 = 6 (< 10)
• 1 × 2 = 2 (< 10)
• 这部分是“不进位”的。

分析 132 × 1（十位）：

• 2 × 1 = 2 (< 10)
• 3 × 1 = 3 (< 10)
• 1 × 1 = 1 (< 10)
• 这部分也是“不进位”的。

分析相加：

• 个位：4 + 0 = 4 (< 10)
• 十位：6 + 2 = 8 (< 10)
• 百位：2 + 3 = 5 (< 10)
• 千位：1 (< 10)

因此，132 × 12 是一个**不进位**的计算题。

再审视 110 × 54：

110 × 54 ----- 440 (110 × 4) 550 (110 × 5，向左错开一位) ----- 5940

分析 110 × 4：

• 0 × 4 = 0 (< 10)
• 1 × 4 = 4 (< 10)
• 1 × 4 = 4 (< 10)
• 这部分是“不进位”的。

分析 110 × 5（十位）：

• 0 × 5 = 0 (< 10)
• 1 × 5 = 5 (< 10)
• 1 × 5 = 5 (< 10)
• 这部分也是“不进位”的。

分析相加：

• 个位：0 + 0 = 0 (< 10)
• 十位：4 + 0 = 4 (< 10)
• 百位：4 + 5 = 9 (< 10)
• 千位：5 (< 10)

因此，110 × 54 是一个**不进位**的计算题。

修正后的判断列表：

1. 301 × 21 (是)
2. 142 × 12 (否)
3. 222 × 11 (是)
4. 105 × 20 (是)
5. 311 × 30 (是)
6. 123 × 45 (否)
7. 201 × 32 (是)
8. 400 × 21 (是)
9. 132 × 12 (是)
10. 110 × 54 (是)

通过以上练习，学生可以更好地掌握“三位数乘两位数不进位的计算题”的特征和解题方法。熟练掌握这类计算，将为后续更复杂的数学学习打下坚实的基础。

常见误区与注意事项

在进行三位数乘两位数不进位的计算时，即使是简单的运算，也可能出现一些常见的错误。了解这些误区并加以避免，有助于提高计算的准确性。

• 位数对齐错误： 这是最常见的错误之一。将乘积写在不正确的位置，或者在相加时错开位数，都会导致最终结果错误。务必牢记“个位对个位，十位对十位”的原则，特别是在写第二个中间积时，要向左错开一位。
• 乘法口诀记忆不清： 即使是不进位的计算，也需要准确地运用乘法口诀。例如，计算 3 × 2 时，如果误记为 5，则整个计算都会出错。
• 漏乘或多乘： 在用两位数的个位和十位分别去乘三位数时，要确保三位数的每一位（个位、十位、百位）都被乘到，不多也不少。
• 忽略“不进位”的本质： 有些学生可能混淆“乘积小于 10”和“最终结果小于 10”。“不进位”要求的是从乘法运算到最终相加的每一步都没有“进一”的操作。
• 对“0”的处理不当： 在乘法中遇到“0”时，有时学生会忽略或者错误地处理。例如，102 × 20，十位上的 2 乘以 102 时，2 × 0 = 0，这很容易理解，但也要确保正确书写。
• 单纯记忆，缺乏理解： 有些学生只是机械地记忆竖式计算的步骤，而不理解背后的原理。一旦遇到略微变化的情况，就容易出错。理解乘法分配律（例如，a × (b + c) = a × b + a × c）对于深入理解乘法计算非常有帮助。

提高计算准确性的建议

• 仔细审题： 在开始计算前，快速预览题目，判断是否可能存在进位。虽然题目明确要求“不进位”，但检查一下被乘数和乘数的数字，可以提前有个大致印象。
• 规范书写： 保持计算过程清晰、整洁。每一笔都写清楚，特别是数字的对齐，能够有效避免错误。
• 验算： 对于计算题，验算至关重要。可以使用交换乘数的位置（如果被乘数是三位数，乘数是两位数，交换位置可能不方便），或者估算的方法来检查结果的合理性。例如，112 × 11 大约是 100 × 10 = 1000，或者 110 × 10 = 1100，最终结果 1232 是在这个范围内的。
• 多做练习： 熟能生巧。通过反复练习，可以加深对计算方法的理解，提高计算速度和准确性。
• 向他人请教： 如果在练习中遇到困难，不要犹豫，及时向老师或同学请教，弄清楚每一个疑问。

掌握“三位数乘两位数不进位的计算题”，是学习数学的重要一步。通过理解其原理，掌握正确的计算方法，并进行充分的练习，相信各位同学都能熟练应对这类计算挑战。