excel的标准差函数的计算公式详解：STDEV.S、STDEV.P与STDEV函数的使用与区别
Excel 标准差函数的计算公式：全面解析与应用
在Excel中，计算标准差的函数主要有 `STDEV.S`、`STDEV.P` 和 `STDEV`。它们用于衡量数据集的离散程度，即数据点相对于平均值的分散程度。
Excel 标准差函数的核心作用
标准差是统计学中一个至关重要的概念，它能够量化一组数值的波动性或离散程度。在Excel中，标准差函数帮助我们快速、准确地计算出数据集的这种特性，这对于数据分析、风险评估、质量控制以及理解数据分布至关重要。简单来说，标准差越大，表示数据点越分散；标准差越小，表示数据点越集中在平均值附近。
1. STDEV.S 函数：计算样本标准差
STDEV.S 函数是Excel中用于计算样本标准差的首选函数。当你的数据集代表的是一个更大总体的一个样本时，你应该使用此函数。
计算公式：
Excel内部计算 `STDEV.S` 函数的公式基于以下原理：
- 计算平均值 (Mean, $ar{x}$)：将所有样本值相加，然后除以样本数量 (n)。
- 计算离差 (Deviations)：每个样本值减去平均值。
- 计算离差的平方 (Squared Deviations)：将每个离差值进行平方。
- 计算离差平方和 (Sum of Squared Deviations)：将所有离差的平方值相加。
- 计算方差 (Variance)：将离差平方和除以 (n-1)。这里的 (n-1) 是自由度（degrees of freedom），这是样本标准差与总体标准差的关键区别。使用 (n-1) 是为了对总体方差进行无偏估计。
- 计算标准差 (Standard Deviation)：对计算出的方差取平方根。
用数学公式表示，`STDEV.S` 函数计算的是：
$$ s = sqrt{frac{sum_{i=1}^{n}(x_i - ar{x})^2}{n-1}} $$其中：
- $s$ 表示样本标准差
- $x_i$ 表示数据集中的每一个数值
- $ar{x}$ 表示数据集的平均值
- $n$ 表示样本的数量
使用场景：
- 市场调研中，从所有顾客中抽取一部分进行调查，计算这部分顾客的消费行为的标准差。
- 生产线上，随机抽取一部分产品进行质量检测，计算其某个指标的标准差。
- 科学实验中，采集一部分数据，用于推断整体实验结果的波动性。
语法：
STDEV.S(number1, [number2], ...)
其中 `number1` 是必需的，`number2` 及以后是可选的。这些参数可以是数字、数组或对包含数字的单元格的引用。
2. STDEV.P 函数：计算总体标准差
STDEV.P 函数用于计算总体标准差。当你的数据集包含了你所研究的全部总体时，应该使用此函数。
计算公式：
STDEV.P 函数的计算过程与 `STDEV.S` 类似，但关键区别在于计算方差时除以的是总体的数量 (N)，而不是 (N-1)。
- 计算平均值 (Mean, $mu$)：将所有总体值相加，然后除以总体数量 (N)。
- 计算离差 (Deviations)：每个总体值减去平均值。
- 计算离差的平方 (Squared Deviations)：将每个离差值进行平方。
- 计算离差平方和 (Sum of Squared Deviations)：将所有离差的平方值相加。
- 计算方差 (Variance)：将离差平方和除以总体数量 (N)。
- 计算标准差 (Standard Deviation)：对计算出的方差取平方根。
用数学公式表示，`STDEV.P` 函数计算的是：
$$ sigma = sqrt{frac{sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2}{N}} $$其中：
- $sigma$ 表示总体标准差
- $x_i$ 表示总体中的每一个数值
- $mu$ 表示总体的平均值
- $N$ 表示总体的数量
使用场景：
- 计算一个班级所有学生的考试成绩的标准差，此时该班级即为总体。
- 对一家公司所有员工的月薪进行分析，计算其标准差。
- 对一特定地区所有住宅的价格进行统计，计算其标准差。
语法：
STDEV.P(number1, [number2], ...)
参数的含义与 `STDEV.S` 函数相同。
3. STDEV 函数：兼容旧版本Excel
STDEV 函数是Excel早期版本中使用的标准差函数。在Excel 2010及更高版本中，它仍然可用，但其行为与 `STDEV.S` 函数相同，即计算样本标准差。
计算公式：
STDEV 函数的计算公式与 `STDEV.S` 函数一致，即计算样本标准差。
使用场景：
主要用于兼容包含旧版本Excel文件的场景。在新版本的Excel中，为了明确区分样本和总体，推荐使用 `STDEV.S` 和 `STDEV.P`。
语法：
STDEV(number1, [number2], ...)
参数的含义与 `STDEV.S` 函数相同。
STDEV.S、STDEV.P 和 STDEV 的核心区别总结
理解它们之间的主要区别在于你是在处理样本还是总体：
- 样本 (Sample)：数据集中一部分，用于推断更大范围的总体。当你的目的是根据已知数据推测未知时，使用样本标准差。
- 总体 (Population)：你所研究的全部数据集合。当你的数据已经包含了你感兴趣的所有可能情况时，使用总体标准差。
表格对比：
| 函数名称 | 计算类型 | 除数（方差计算） | 主要用途 | Excel 版本兼容性 |
|---|---|---|---|---|
STDEV.S |
样本标准差 | n-1 (自由度) | 推断总体，分析抽样数据 | Excel 2010 及更高版本 |
STDEV.P |
总体标准差 | N (总体数量) | 分析已知全部数据 | Excel 2010 及更高版本 |
STDEV |
样本标准差 | n-1 (自由度) | 兼容旧版本 Excel；在新版本中等同于 STDEV.S | 所有 Excel 版本 |
如何在 Excel 中使用标准差函数
在Excel中使用标准差函数非常直观。你可以直接在任何单元格中输入公式，然后指定需要计算标准差的数据范围。
示例：计算销售额的标准差
假设你有一个包含过去一年的每月销售额的数据列表，你想了解这些销售额的波动情况。
场景一：将过去一年的销售额视为一个整体（总体）
如果这12个月的数据代表了你当前分析的全部销售情况，那么你应该使用 `STDEV.P`。
假设你的每月销售额数据在 A1:A12 单元格中，你可以在任意单元格输入：
=STDEV.P(A1:A12)
场景二：将过去一年的销售额视为一个样本（样本）
如果你认为这12个月的数据只是你更大时间范围（例如，过去五年的平均月销售额）的一个代表性样本，你可能会更倾向于使用 `STDEV.S` 来估算整体销售的波动性。
在任意单元格输入：
=STDEV.S(A1:A12)
注意：
- 输入的参数可以是单个单元格、一个单元格区域，或者多个区域的组合。
- 函数会自动忽略文本值、逻辑值（TRUE/FALSE）和空单元格。
理解标准差的实际意义
计算出标准差后，我们如何解读它呢？
- 低标准差： 数据点紧密地聚集在平均值附近。这通常意味着数据相对稳定、可预测性高。例如，一个生产流程如果标准差很低，说明产品质量一致性好。
- 高标准差： 数据点分散在平均值的较大范围内。这表明数据变异性大，波动性强，可预测性较低。例如，股票市场的价格波动可能具有很高的标准差。
在进行比较时，标准差尤其有用。如果你有两个数据集，它们的平均值可能相似，但标准差的差异能告诉你哪个数据集的数据更加稳定。
与平均值函数 (AVERAGE) 的配合使用
标准差函数的计算离不开平均值。在Excel中，我们通常会先计算平均值，再计算标准差，以便对数据集的中心趋势和分散程度有一个全面的认识。
例如，你可以先在一个单元格使用 `AVERAGE` 函数计算平均值：
=AVERAGE(A1:A12)
然后，再使用 `STDEV.S` 或 `STDEV.P` 计算标准差。
重要提示：
在Excel 2010之前，STDEV 函数是唯一的选择，它计算的是样本标准差。如果您在旧版本Excel中工作，并需要计算总体标准差，您需要手动调整公式，或者如果Excel提供类似 `VAR.P` 的函数，可以先计算总体方差再开方。但从Excel 2010起，STDEV.S 和 STDEV.P 的出现极大地简化了这一过程，并提高了公式的清晰度。
通过掌握Excel中标准差函数的正确使用方法，您可以更深入地理解您的数据，做出更明智的分析和决策。
