敛散性的判断方法

敛散性的判断方法？

一、判定正项级数的敛散性；二、判定交错级数的敛散性；三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；四、求幂级数的和函数与数项级数的和；五、将函数展开为傅里叶级数。



一、判定正项级数的敛散性

1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。

2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，

3.用比值判别法或根值判别法进行判别，

4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.

二、判定交错级数的敛散性

1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.

2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.

3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散.

4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛 发散=发散”“收敛 收敛=收敛”判定.

三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.

2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径.

四、求幂级数的和函数与数项级数的和

1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和.

2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.

五、将函数展开为傅里叶级数

将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。

以下是敛散性的几种判断方法：

比较审敛法：比较级数的绝对值大小来判断其敛散性。如果一个级数的绝对值在逐渐减小，那么这个级数是发散的

莱布尼茨判别法：通过比较级数的首项以及尾项的符号来判断其敛散性。如果一个级数的首项以及尾项中有一项或两项为正，而另一项为负，那么这个级数是发散的

（1）首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零。如果不趋于零，便可判断级数发散。如果趋于零，则考虑其它方法。

（2）考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了。但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法。