阿波罗斯圆几何证明

阿波罗斯圆几何证明

定义
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。

证明
我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN AB，所以AN:(AN AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
b^2 c^2=a^2/2 2ma^2；
c^2 a^2=b^2/2 2mb^2；
a^2 b^2=c^2/2 2mc^2。
（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。