一元函数可微就是导函数连续吗

一元函数可微就是导函数连续吗？

一元函数中，可微与可导是等价的，导函数不一定连续，但是一定没有第一类间断点，有可能有第二类间断点！

函数在某一点的单侧导数存在，并不意味着，导函数在这一点单侧极限存在！

一个例子是

F(X)＝X²sin(1/X)（X≠0）

F(X)＝ 0 (X＝0)

一元函数与多元函数连续，可导，可微之间的关系：

1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。

一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑；

多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、

左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。

2、一元函数，只要曲线光滑--没有尖点、没有断点，切线垂直于x轴就行，

也就是不能斜率为无穷大；

多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直

于各个坐标的垂直切线。

3、一元函数的求导，就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性、

可导性、凹凸性等等；

多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数。方向导数取得最大值

的方向，就是梯度的方向，而它的反方向一定存在一个力，整体存在一个力

场。例如温度增加得最快的方向，其反方向就是热流的方向；如电势增加得

最快的方向，反方向就是电场力的方向。这样的例子举不胜举。

4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别，工程上的误差计算：

Δy

=

(dy/dx)Δx,

dy/dx

利用的是可导，

Δx,

Δy

运用的就是可微。

无论是牛顿的近似计算，还是用麦克劳琳级数计算，还是用泰勒技术计算，

也都是运用的可导性与可微性。

在多元函数中，就不一样了，u

=

f(x,y,z),

随便写出

du/dx,

du/dy,

dy/dz

都是错误的。我们可以有三种写法：

du

=

(∂u/∂x)dx

+

(∂u/∂y)dy

+

(∂u/∂z)dz

du/dt

=

(∂u/∂x)dx/dt

+

(∂u/∂y)dy/dt

+

(∂u/∂z)dz/dt

grad

u

=

(∂u/∂x)i

+

(∂u/∂y)j

+

(∂u/∂z)k

(i，j,

k

是单位矢量)

5、一元函数可微就是可导，可导就可微；

多元函数可导就含糊了，沿100万个方向可偏导，只要一个方向不可偏导，

就不可微，只要可微，就表示沿各个方向可偏导；

多元函数，在任何方向的导数都是偏导。没有全导的概念，只有偏导、偏

微、全微的概念。如果讲全导，则是意指上面的du/dt的情况。

6、在一元函数，我们可以计算极值点。

在多元函数中，当然仍然有极值点的计算。但是可能多出了一个极值面，

或极值曲线的概念。例如，在引力场中，物体下滑时，沿什么样的曲线最

快？这就要涉及多元函数的张量问题。

7、一元函数，通常是常微分的解；多元函数是偏微分的解。

总而言之，言而总之，多元函数考虑的情况是三维以上的情况，考虑的因素多了许多，基本上仍然是一元微积分的应用。本质上没有区别，只是在复杂程度上，麻烦了许多